 4_variable_example_problem.pdf

4  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     Analysis     There  is  quite  a  bit  of  information  to  sort  through  in  these  optimization  problems,   and  this  example  is  no  different.      In  this  part  of  the  problem  we  are  only  trying  to   mathematically  define  the  relationships  for  all  the  information  we  are  given.         Do  not  try  to  “solve”  anything  yet  at  this  point  in  the  process!       Define  the  Variables     The  most  important  step  is  to  define  the  variables  for  the  problem,  which  is  tricky   because  there  is  nothing  to  really  point  to  in  the  presentation  of  the  problem.      The   main  criteria  you  are  looking  for  in  a  variable  are:

• There  is  an  unknown  or  unstated  number  or  amount  of  objects/people   • The  provided  numbers  in  the  problem  relate  directly  to  the  number  or

amount  of  the  unknown  objects.     The  second  part  might  be  the  easier  to  look  at.      Consider  the  following  statements   from  the  presentation  of  the  problem  in  part  1:   “A  Velite  requires  2  gold  to  recruit,  1  gold  to  equip,  and  half  a  gold  to  train.”   “A  Hopolite  has  a  battle  rating  of:  1     Nowhere  is  there  a  number  provided  for  the  number  of  Hopolites  or  Velites,  and  all   of  our  information  (recruitment  cost,  equipment  cost,  training  cost,  and  battle   rating)  is  given  in  the  terms  of  a  single  Hopolite  or  Velite,  and  the  totals  (costs  and   battle  rating)  will  only  be  know  if  we  know  the  numbers  of  each  type  of  soldiers.     We  will  then  define  our  variables  as  follows:

• x1  :  Number  of  Velites   • x2  :  Number  of  Hoplites   • x3  :  Number  of  Legionaries   • x4  :  Number  of  Equites

Establish  the  Objective  Function     We  are  interested  in  the  total  battle  rating  of  all  the  soldiers  in  the  army.      Therefore   we  want  to  add  the  battle  rating  contributed  by  each  group  of  soldiers:     Overall  Battle  Rating  =  Total  Velite  Battle  Rating  +  Total  Hopolite  Battle  Rating   +  Total  Legionary  Battle  Rating  +  Total  Equite  Battle  Rating

4  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     Think:  If  a  single  Equite  has  a  battle  rating  of  2  then  two  Equites  will  have  a  battle   rating  of  4  (2  x  2  =  4);  while  10  Equites  will  have  a  battle  rating  of  20  (2  x  10  =  20).   Now  to  find  the  total  battle  rating  for  each  group  of  soldier,  we  will  multiply  the   battle  rating  for  a  single  soldier  by  the  number  of  soldiers.      Now  since  we  do  not   have  the  number  for  the  of  soldiers  of  each  type,  we  will  use  the  variables.    So  we  get   the  following  terms:

§ Total  Velite  Battle  Rating    =  (0.5)×  (x1)   § Total  Hopolite  Battle  Rating  =    (1)×  (x2)   § Total  Legionary  Battle  Rating  =  (1.5)×  (x3)   § Total  Equite  Battle  Rating=  (2)×  (x4)

And  therefore,  our  objective  function  is:

BattleRating = 0.5( )x1 + 1( )x2 + 1.5( )x3 + 2( )x4         Defining  the  Constraint  Inequalities       With  our  variables  and  objective  function  defined,  we  then  want  to  look  at  the   constraint  inequalities.      In  our  problems,  we  are  limited  by  the  amount  of  gold   allotted  to  each  category:  recruitment,  training,  and  equipment.      We  do  not  have  to   use  all  the  gold  in  a  category,  but  we  cannot  go  over.   Note:  This  means  we  will  use  the  “less  than  or  equal  to”  relationship  between  the   amount  of  gold  required,  and  the  total  amount  available     The  mathematical  principle  behind  this  is  much  the  same  as  the  one  set  up  in  the   objective  function:    We  will  multiply  the  cost  involved  for  a  single  soldier  of  each   type,  and  multiply  by  the  number  of  soldiers.     (A  hopolite  costs  2.5  gold  to  recruit,  2  hopolites  will  cost  2.5x2  =  5  gold  to  recruit,  20   hopolites  will  cost  2.5x20  =  50  gold  to  recruit  and  so  on)     Thus  we  have  the  following  constraints:

§ recruitment : 2x1 + 2.5x2 + 2x3 + 2x4 ! 4000   § equipment :1x1 + 1.5x2 + x3 + 2x4 !1800   § training : 0.5x1 + 0.5x2 + x3 + x4 ! 4000

So,  with  4  variables,  we  will  not  be  able  to  solve  this  problem  graphically.      This   means  either  using  some  linear  algebra  techniques  or  a  solver.

4  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     To  use  a  solver,  we  will  have  to  add  the  values  into  a  spreadsheet.      Using  the  empty   3  variable  sheet  and  adding  an  extra  column  should  give  us  a  similar  result  after   filling  in  the  values  and  relabeling  some  cells:

Army  Battle  Value                     Variables   X1   X2   X3   X4   Sign   RHS     LHS   Slack   Objective  Function   0.5   1   1.5   2   =   Max   Battle  Points         Recruitment   Constraint   2   2.5   2   2   ≤   4000   Constraint  1       Equipment   Constraint   1   1.5   1   2   ≤   1800   Constraint  2       Training  Constraint   0.5   0.5   1   1   ≤   1000   Constraint  3                             Solutions                   Velites   Hoplites   Legionares   Equites