 2_variable_example_problem.pdf

2  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     Analysis     There  is  quite  a  bit  of  information  to  sort  through  in  these  optimization  problems,   and  this  example  is  no  different.      In  this  part  of  the  problem  we  are  only  trying  to   mathematically  define  the  relationships  for  all  the  information  we  are  given.         Do  not  try  to  “solve”  anything  yet  at  this  point  in  the  process!       Define  the  Variables     The  most  important  step  is  to  define  the  variables  for  the  problem,  which  is  tricky   because  there  is  nothing  to  really  point  to  in  the  presentation  of  the  problem.      The   main  criteria  you  are  looking  for  in  a  variable  are:

• There  is  an  unknown  or  unstated  number  or  amount  of  objects/people   • The  provided  numbers  in  the  problem  relate  directly  to  the  number  or

amount  of  the  unknown  objects.     The  second  question  might  be  the  easier  of  the  two  to  figure  out.      Consider  the   following  statements  from  the  presentation  of  the  problem  in  part  1:     -­‐“What  is  the  cheapest  diet  that  will  fulfill  the  dietary  requirements?”   -­‐“An  uncooked  cup  of  rice  contains  15  grams  of  protein,  810  calories,  and  1/9  of  a   milligram  of  B2,  all  at  a  price  of  21  cents.”   -­‐“An  uncooked  cup  of  soybeans  costs  14  cents…”     Since  we  are  trying  to  figure  out  the  cost  of  the  diet,  we  want  to  look  for  price   information  in  the  problem.      We  have  information  for  the  price  per  cup  for  both   soybeans  and  rice,  but  do  not  know  how  many  cups  of  each  type  of  food  we  will   require!      These  unknown  quantities  will  be  our  variables:     x :  Number  of  cups  of  rice  per  day   y :  Number  of  cups  of  soybeans  per  day       Establish  the  Objective  Function     In  case  you’re  not  sure  how  to  create  a  mathematical  expression  to  represent  the   cost,  consider  the  situations  below

• If  we  have  zero  cups  of  rice  and  zero  cups  of  soybeans,  it  should  be  obvious   that  the  cost  of  that  diet  will  be  zero  cents.

• If  we  have  one  cup  of  rice  only,  the  diet  will  cost  21  cents.

2  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up

• If  we  have  two  cups  of  rice,  the  diet  will  cost  42  cents.      We  calculate  this  by   multiplying  the  cost  per  cup  by  the  number  of  cups:   cost  =  21×2  =  42  cents

• If  we  add  a  cup  of  soybeans  (so  two  cups  of  rice,  one  cup  of  soybeans)  we  will   add  the  cost  of  a  cup  soybeans  to  the  cost  of  the  rice:   cost  =  21×2  +  14  =  56  cents

Since  we  do  not  know  the  amount  of  cups  of  rice  and  soybeans,  but  instead  have   variables  to  stand  in  place  of  them,  we  can  create  a  general  function  to  describe  the   cost  for  any  amount  of  rice  and  soybeans.

Cost = 21x+14y         Defining  the  Constraint  Inequalities       Now  that  we  know  what  we  are  trying  to  optimize  (minimal  cost),  have  defined  our   variables  (number  of  cups  of  rice,  number  of  cups  of  soybeans),  and  have  created  an   objective  function  describing  the  value  we  are  trying  to  optimize  we  can  now  take  a   look  at  our  constraints.     While  it  should  be  obvious  that  the  fewer  cups  of  “food”  (rice  and  soybeans)  we   have  in  the  diet,  the  cheaper  it  is  going  to  be.      However,  we  have  to  make  sure  me   meet  some  nutritional  requirement.     In  our  original  problem  we  stated:   “We  want  to  insure  that  people  on  this  diet  receive  at  least

§ 90g  of  protein,     § 1620  calories,     § 1  milligram  of  Vitamin  B2.”

With  that  in  mind,  we  have  to  create  expressions  that  define  how  much  protein,   how  many  calories,  and  how  much  vitamin  B2  is  in  the  diet.      This  follows  the   same  pattern  as  our  objective  function.     NOTE:    The  amount  of  protein,  calories,  and  vitamin  B2  all  vary  by  different   amounts  per  cup  of  soybeans  or  rice.    We  will  treat  each  separately,  each  with   their  own  constraint  inequality.     Protein   A  cup  of  rice  contains  15  grams  of  protein.      15x  will  represent  the  amount  of  protein   from  x  cups  of  rice  (remember  our  variables?)

2  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     A  cup  of  soybeans  contains  22.5  grams  of  protein.      22.5y  will  represent  the  amount   of  protein  from  y  cups  of  soybeans     The  amount  of  protein  in  our  diet  is  expressed  by:

15x+22.5y   Now  since  this  amount  has  to  be  greater  than  or  equal  to  90  grams  (the  phrase  “at   least”  means  we  cannot  have  a  value  below  90)  we  define  the  following  inequality  as   a  requirement  for  the  diet

15x+22.5y ! 90   The  other  constrains  will  follow  a  similar  pattern.     Calories   A  cup  of  rice  contains  810  calories.      180x  will  represent  the  amount  of  calories  from   x  cups  of  rice.     A  cup  of  soybeans  contains  270  calories.    270y  will  represent  the  amount  of  protein   from  y  cups  of  soybeans.     The  amount  of  calories  in  our  diet  is  expressed  by:

810x+270y   Now  since  this  amount  has  to  be  greater  than  or  equal  to  1620  (the  phrase  “at  least”   means  we  cannot  have  a  value  below  1620)  we  define  the  following  inequality  as  a   requirement  for  the  diet

810x+270y !1620     Vitamin  B2     A  cup  of  rice  contains  1/9th  of  a    milligram  of  vitamin  B2.      1x  will  represent  the   amount  of  vitamin  B2  from  x  cups  of  rice.     A  cup  of  soybeans  contains  1/3  of  a  milligram  of  vitamin  B2.    (1/3)y  will  represent   the  amount  of  protein  from  y  cups  of  soybeans.     The  amount  of  vitamin  B2  in  our  diet  is  expressed  by:

1 9 !

" # \$

% &x+

1 3 !

" # \$

% &y

Now  since  this  amount  has  to  be  greater  than  or  equal  to  1  milligram  of    vitamin  B2   we  define  the  following  inequality  as  a  requirement  for  the  diet

1 9 !

" # \$

% &x+

1 3 !

" # \$

% &y '1

2  Variable  Example  Problem   Part  2:  Analysis  and  set-­‐up     Non-­‐negativity     The  last  constraints  are  our  non-­‐negativity  constraints.      What  this  means  for  our   problem  is  that  we  can’t  have  negative  values  for  x  and  y  (that  is,  x  and  y  must  be   greater  than  or  equal  to  zero).      This  makes  sense  because  the  context  of  the   problem  does  not  allow  for  us  to  sell  rice  or  soybeans,  nor  does  it  allow  us  to   someone  extract  a  cup  of  rice  or  soybeans  OUT  of  someone’s  body.       Thus  we  have  the  final  set  of  constraints:

15x+22.5y ! 90 810x+270y !1620 1 9 x+ 1 3 y !1

x ! 0,y ! 0

"

#

\$ \$

%

\$ \$